Thursday, March 28, 2013

DISTRIBUSI GAMMA DAN EKSPONENSIAL

A.      DISTRIBUSI GAMMA DAN EKSPONENSIAL
Distribusi normal adalah suatu distribusi yang bisa digunakan untuk menyelesaikan banyak permasalahan dalam bidang rekayasa dan sains. Dan banyak lagi permasalahan yang menggunakan fungsi padat jenis lain. Dua fungsi padat itu adalah distribusi gamma dan eksponensial.
Diketahui bahwa eksponensial adalahhal penting dari distribusi gamma. Dikarenakan mempunyai terapan yang luas. Distribusi eksponensial dan gamma mempunyai peranan penting dalam teori antrian dan keandalan (reliabilitas).Contohnyayaitu :Jarakantarawaktutiba di fasilitaspelayanan (misalnya : bank, lokettiketkeretaapi,dll) danlamanyawaktusampairusaknyasukucadangalatlistrik, seringmenyangkutdistribusieksponensial. Hubungan antara distribusigamma dan distribusieksponensial memungkinkan penggunaan distribusi gamma dalam jenis persoalan yang sama.
Distribusi gamma berasal dari fungsi gamma yang sudah dikenal luas dan juga dipelajari dalam banyak bidang matematika. Sebelum membahas distribusi gamma pertamaakan dijelaskan fungsi gamma dan beberapa sifatnya diantaranya yaitu :
Definisi 1
          Fungsi Gamma didefinisikan sebagai
Γ(α) =
                 untuk α > 0
Sifat-sifat penting fungsi gamma adalah:
  1. Di definisikan
  2. Untuk setiap α > 1 berlaku
  3. Untuk sebuah bilangan bulat positif n,
1. Bukti:
Misal
Karena , maka
terbukti bahwa
2. Dengan manipulasi kalkulus pada teknik pengintegralan, maka diperoleh:
Dimana,
Sehingga
Denganmenggunakanrumusberulang di atas, maka:
Sehingga diperoleh:
Dst
                 Jika  dimana n bilangan bulat positif, maka dapat dituliskan:
Sekarang fungsi gamma akan dipakai dalam mendefinisikan distribusi gamma.
Distribusi gamma  Peubah acak kontinu x berdistribusi gamma dengan parameter , bila fungsi padatnya berbentuk
f(x)=
Dengan α > 0 dan β > 0
Untuk beberapa nilai tertentu, distribusi gamma yang khusus dengan  α=1disebut distribusi eksponensial.
DistribusieksponensialPeubahacakkontinu X berdistribusieksponensial,  dengan parameter β, bilafungsipadatnyaberbentuk
f(x)=                        
Dengan β > 0
Teorema dibawah ini  dan akibatnyamemberikanrataandanvariansidistribusi gamma daneksponensial
Teorema 1 Rataan dan variansi distribusi gamma adalah
μ  = αβ dan = αβ2
Bukti:
Misalkan
dan  sehingga,
Ambil r = 1 dan r = 2, makapersamaan di atasmenjadi
Sehingga adalah:
Dari  dan
          Akibat 1Rataan dan variansi distribusi eksponensial adalah
μ = α dan = β2

B.      PENERAPAN DISTRIBUSI EKSPONENSIAL DAN GAMMA
Pada bab ini akan disajikandasarbagipenerapandistribusieksponensialdalam “waktusamapaitiba” ataupersoalanwaktusampaikejadianPoisson. Disiniakandiberikanilustrasikemudianditeruskandenganpembahasanperandistribusi gamma dalampenerapanini. Perhatikanbahwarataandistribusieksponensialadalah parameter β, kebalikandari parameter distribusiPoisson.DistribusiPoissontidakpunyaingatan . Maksudnyayaitubahwaterjadinyadalamselangwaktu yang berurutantidaksalingmempengaruhi. Parameter β yang penting adalah rataan waktu antara kejadian. Teorikeandalan (reliabilitas) yang menyangkutkegagalanperalatanseringmemenuhi proses Poissonini, di sini β disebutrataanwaktuantarakegagalan. Banyakkerusakanperalatanmemenuhi proses Poisson, dankarenaitudistribusieksponensialdapatditerapkan di situ.
Dalamcontoh berikut diberikan suatu penerapan sederhana distribusi  eksponenesial pada soal dalam keandalan. Distribusi binomial juga ikutserta dalam penyelesaiannya.
          Contoh 1
                 Misalkan variable acak kontinu X yang menyatakanketahanansuatubantalanpeluru (dalamribuan jam) yang diberipembebanandinamikpadasuatuputarankerjatertentumengikutisuatudistribusi gamma dengan α = 8 danβ = 15. Maka, probabilitassebuahbantalanpelurudapatdigunakanselama 60 ribusampai 120 ribu jam denganpembebanandinamikpadaputarankerjatersebutadalah:
          Contoh 2
Misalkan suatu system mengandung sejenis komponen yang daya tahannya dalam tahun dinyatakan oleh peubah acak T yang berdistribusieksponensialdengan parameter wakturataansampaigagal β = 5. Bilasebanyak 5 komponentersebutdipasangdalam system yang berlainan, berapakahpeluangbahwa paling sedikit 2 masihakanberfungsipadaakhirtahunkedelapan?
          Jawab
Peluang bahwa suatu komponen tertentu masih akan berfungsi setelah 8 tahun adalah
 dt
                 Misalkan  X menyatakan bahwa suatu komponen yang masih berfungsi setelah 8 tahun. Dengan menggunakan distribusi binomial, diperoleh
Pentingnya distribusi gamma terletak pada kenyataan bahwa distribusiinimerupakansuatukeluargadistribusi yang distribusilainnyamerupakanhalkhusus. Tetapi gamma sendirimempunyaiterapanpentingdalamwaktumenunggudanteorikeandalan. JikadistribusieksponensialmemberikanwaktusampaiterjadinyakejadianPoisson (atauwaktuantarakejadianpoissson) makawaktu (atauruang) terjadinyasampaisejumlahtertentukejadianPoissonterjadimerupakanpeubahacak yang fungsipadatnyadiberikanolehdistribusigamma.Jumlahtertentukejadianiniadalah parameter α dalamfungsipadat gamma. Karenaitumudahdipahamibahwabila α =1 halkhususdistribusieksponensialberlaku. Fungsipadat gamma dapatdiperolehdarihubungannyadengan proses Poissonmiripdengancaramemperolehfungsipadateksponensial. Rinciannyadiserahkansebagailatihan. Berikutadalahcontoh numeric penggunaandistribusi gamma dalampenerapanwaktumenunggu.
          Contoh 3
Misalkanlah bahwa hubungan telepon tiba disuatu gerdu (sentral memenuhi proses Poissondengan rata-rata 5 hubunganmasuk per menit. Berapakahpeluangnyabahwasetelahsemenitberlalubaru 2 hubunganmasukkegardutadi?
          Jawab:
Proses Poisson berlaku dengan waktu sampai 2 kejadian Poissonmemenuhidistribusi gamma dengan dan . Misalkan peubah acak X menyatakan waktu dalam menit yang berlalu sebelum 2 hubunganmasuk. Peluang yang dicariadalah
 dx
Harinaldi, Prinsip – PrinsipStatistikuntukTeknikdanSains, Erlangga, Jakarta (2005)

Thursday, March 21, 2013

TEOREMA WILSON

Berapa sisa pembagian ini??
1! dibagi 2
2! dibagi 3
4! dibagi 5
6! dibagi 7
10! dibagi 11
12! dibagi 13
dst..
Lalu, apa uniknya jawaban dari soal di atas? Lihat lanjutannya di bawah.
=======================================================================

(Semua jawaban di atas adalah "-1".)

Dalam buku yang dipublikasikan tahun 1770, seorang matematikawan Inggris Edward Waring menyatakan bahwa muridnya menemukan bahwa (p-1)!+1 habis dibagi oleh p berapapun p yang merupakan bilangan prima. Namun, tidak ada dari keduanya yang mampu membuktikannya. Tahun 1771, Joseph Lagrange membuktikan teorema ini, yang selanjutnya dikenal sebagai teorema Wilson.

Teorema Wilson
Jika adalah bilangan prima, maka

=======================================================================
Tentunya, kita sudah pernah mempelajari invers modulo di post INI. "a adalah invers dari b modulo c" jika . Istilah ini akan kita pakai dalam pembuktian teorema ini.

Sebelum pembuktian, kita lihat ilustrasi ide di balik pembuktian ini.

Tentukan sisa pembagian (7-1)! dibagi 7.
(7-1)! = 6! = 1.2.3.4.5.6.
Selain 1 dan 6, maka kita akan menyusun pasangan-pasangan yang merupakan invers modulo.


Oleh karenanya, kita lakukan grouping sebagai berikut:
6! = 1.(2.4).(3.5).6
Jadi, .

Selain mod 7, kalian juga bisa coba misalnya dengan modulo yang lain, misalnya modulo 11.

BUKTI TEOREMA WILSON:
Untuk , maka adalah benar. Jadi, teorema itu benar untuk .

Sekarang, asumsikan adalah bilangan prima yang lebih besar 2.
Dari bilangan 1,2,3,4,5,..., (p-2), (p-1), bilangan yang memiliki invers modulo p terhadap dirinya sendiri HANYA dan . (Bukti ada di kotak di bawah.)

Kita tahu bahwa memiliki invers modulo dirinya sendiri, karena .
memiliki invers modulo dirinya sendiri, karena
.

Lalu bagaimana dengan bilangan selain dan .
Seandainya adalah sembarang integer yang mempunyai invers modulo terhadap dirinya sendiri dan , maka kondisi ini harus berlaku:




Kondisi ini ternyata berkontradiksi dengan pernyataan awal bahwa . Jadi, bilangan dalam selalu mempunyai pasangan invers modulo dengan bilangan yang lainnya.

Selanjutnya, kita dapat melakukan grouping sbb:

_______
_______
Jadi, teorema Wilson pun TERBUKTI. ■

=======================================================================

Konverse Teorema Wilson
Jika , maka adalah bilangan prima
Bukti:
Andaikan adalah bilangan komposit. Artinya akan terdapat bilangan dimana sehingga . Artinya, kondisi ini juga berlaku:
_____... (i)
Selanjutnya, karena , artinya . Karena , maka
_____... (ii)
Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa:


Padahal ini kontradiksi dengan pernyataan "".
Artinya, haruslah prima.
Konverse teorema Wilson TERBUKTI. ■